Treffen Sie die vierdimensionalen Zahlen, die zur modernen Algebra führten


Stellen Sie sich vor, die Stundenzeiger einer Uhr zurück von 3 Uhr bis Mittag. Mathematiker wissen seit langem, wie man diese Drehung als eine einfache Multiplikation beschreibt: Eine Zahl, die die Anfangsposition des Stundenzeigers in der Ebene darstellt, wird mit einer anderen konstanten Zahl multipliziert. Aber ist ein ähnlicher Trick möglich, um Drehungen durch den Raum zu beschreiben? Der gesunde Menschenverstand sagt ja, aber William Hamilton, einer der produktivsten Mathematiker des 19. Jahrhunderts, kämpfte mehr als ein Jahrzehnt, um die Mathematik für die Beschreibung von Drehungen in drei Dimensionen zu finden. Die unwahrscheinliche Lösung führte ihn zum dritten von nur vier Zahlensystemen, die sich an ein ähnliches Analogon der Standardarithmetik hielten und den Aufstieg der modernen Algebra beflügelten.

Die reellen Zahlen bilden das erste derartige Zahlensystem. Eine Reihe von Zahlen, die man vom kleinsten zum größten sortieren kann, die Realen umfassen alle vertrauten Zeichen, die wir in der Schule lernen, wie -3.7, die Quadratwurzel von 5 und 42. Renaissance-Algebraisten stolperten auf das zweite System von Zahlen, die sein können addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert, als sie erkannten, dass das Lösen bestimmter Gleichungen eine neue Zahl erforderte, die nicht auf die reelle Zahlenreihe passte. Sie machten die ersten Schritte von dieser Linie und in die "komplexe Ebene", wo irreführende "imaginäre" Zahlen mit reellen Zahlen wie Großbuchstaben mit Zahlen im Schlachtschiff-Spiel koppeln. In dieser planaren Welt stellen "komplexe Zahlen" Pfeile dar, die Sie mit Addition und Subtraktion verschieben oder drehen und mit Multiplikation und Division strecken können.

Hamilton, der irische Mathematiker und Namensgeber des "Hamiltonian" -Operators in der klassischen und der Quantenmechanik, hoffte, durch Hinzufügen einer imaginären j-Achse aus der komplexen Ebene herauszukommen. Das wäre so, als würde Milton Bradley "Battleship" mit einer Spalte aus Kleinbuchstaben in "Battlesubmarine" verwandeln. Aber es gab etwas in drei Dimensionen, das jedes System unterbrach, an das Hamilton denken konnte. "Er muss Millionen von Dingen probiert haben und keiner von ihnen hat funktioniert", sagte John Baez, ein Mathematiker an der University of California, Riverside. Das Problem war Multiplikation. In der komplexen Ebene erzeugt die Multiplikation Rotationen. Egal wie Hamilton versuchte, Multiplikation in 3-D zu definieren, konnte er keine gegnerische Division finden, die immer sinnvolle Antworten zurückgab.

Um zu sehen, was 3D-Rotation so viel schwieriger macht, vergleiche das Drehen eines Lenkrads mit dem Drehen eines Globus. Alle Punkte auf dem Rad bewegen sich auf die gleiche Weise zusammen, so dass sie mit der gleichen (komplexen) Zahl multipliziert werden. Aber Punkte auf dem Globus bewegen sich am schnellsten um den Äquator und langsamer, wenn Sie sich nach Norden oder Süden bewegen. Entscheidend ist, dass sich die Pole nicht verändern. Wenn 3-D-Rotationen wie 2-D-Rotationen funktionierten, erklärte Baez, würde sich jeder Punkt bewegen.

Die Lösung, die ein schwindelerregender Hamilton einst in Dublins Broome Bridge einritzte, als sie ihn am 16. Oktober 1843 endlich traf, war, den Globus in einen größeren Raum zu stecken, wo sich Rotationen mehr wie in zwei Dimensionen verhalten. Mit nicht zwei, sondern drei imaginären Achsen, i, j und k, plus der reellen Zahlenlinie a, könnte Hamilton neue Zahlen definieren, die wie Pfeile im 4-D-Raum sind. Er nannte sie "Quaternionen". Bei Einbruch der Nacht hatte Hamilton bereits ein Schema für rotierende 3-D-Pfeile entworfen: Er zeigte, dass diese als vereinfachte Quaternionen gedacht sind, die durch Setzen von a, dem reellen Teil, gleich null und genau gehalten werden die imaginären Komponenten i, j und k – ein Trio, für das Hamilton das Wort "Vektor" erfunden hat. Das Drehen eines 3-D-Vektors bedeutete die Multiplikation mit einem Paar voller 4-D-Quaternionen, die Informationen über die Richtung und den Grad der Rotation enthielten. Um die Quaternion-Multiplikation in Aktion zu sehen, sehen Sie sich das neu veröffentlichte Video des beliebten Mathe-Animators 3Blue1Brown an.

Alles, was Sie mit den echten und komplexen Zahlen tun könnten, könnten Sie mit den Quaternionen machen, bis auf einen Unterschied. Während 2 × 3 und 3 × 2 beide gleich 6 sind, ist die Reihenfolge für die Quaternion-Multiplikation wichtig. Mathematiker hatten dieses Verhalten noch nie zuvor in Zahlen kennengelernt, obwohl es reflektiert, wie sich Alltagsgegenstände drehen. Stellen Sie Ihr Mobiltelefon beispielsweise mit der Vorderseite nach oben auf eine ebene Fläche. Drehen Sie es um 90 Grad nach links und drehen Sie es dann von sich weg. Merken Sie sich, auf welche Art die Kamera zeigt. Kehre zu der ursprünglichen Position zurück, klappe sie zuerst von dir weg und drehe sie dann nach links. Sehen Sie, wie die Kamera stattdessen nach rechts zeigt? Diese anfängliche alarmierende Eigenschaft, bekannt als Nichtkommutativität, erweist sich als ein Merkmal, das die Quaternionen mit der Realität teilen.

Aber auch im neuen Nummernsystem lauerte ein Bug. Während sich ein Telefon oder ein Pfeil in 360 Grad dreht, dreht sich die Quaternion, die diese 360-Grad-Drehung beschreibt, im vierdimensionalen Raum nur um 180 Grad nach oben. Sie benötigen zwei volle Umdrehungen des Telefons oder des Pfeils, um die zugehörige Quaternion in ihren Ausgangszustand zurückzubringen. (Das Stoppen nach einer Drehung lässt die Quaternion invertiert, da die Anzahl der imaginären Zahlen zu -1 quadratisch ist.) Für ein bisschen Intuition darüber, wie das funktioniert, werfen Sie einen Blick auf den rotierenden Würfel oben. Eine Umdrehung bringt eine Drehung in die angebrachten Riemen, während die zweite sie wieder glättet. Quaternionen verhalten sich ähnlich.

Umgekehrte Pfeile erzeugen falsche negative Zeichen, die in der Physik Verwüstung anrichten können, so dass sich fast 40 Jahre nach Hamiltons Brückenvandalismus die Physiker gegenseitig in den Krieg zogen, um das Quaternion-System davon abzuhalten, Standard zu werden. Feindseligkeiten brachen aus, als ein Yale-Professor namens Josiah Gibbs den modernen Vektor definierte. Die Entscheidung für die vierte Dimension war zu mühsam. Gibbs enthauptete Hamiltons Schöpfung, indem er den Begriff ganz wegnahm: Gibbs 'Quaternion-Spinoff behielt die i, j, k-Notation, spaltete aber die unhandliche Regel für das Multiplizieren von Quaternionen in separate Operationen für multiplizierende Vektoren Das lernt jeder Mathematiker und Physikstudent heute: das Dot-Produkt und das Cross-Produkt. Hamiltons Jünger bezeichneten das neue System als "Monster", während Vektorfans die Quaternionen als "ärgerlich" und als "unvermischtes Böses" verunglimpften. Die Debatte tobte jahrelang auf den Seiten von Zeitschriften und Broschüren, doch die einfache Handhabung führte die Vektoren schließlich zum Sieg .

Quaternionen würden im Schatten der Vektoren schmachten, bis die Quantenmechanik in den 1920er Jahren ihre wahre Identität offenbarte. Während die normalen 360 Grad ausreichen, um Photonen und andere Kraftteilchen vollständig zu drehen, nehmen Elektronen und alle anderen Materieteilchen zwei Drehungen, um in ihren Ausgangszustand zurückzukehren. Hamiltons Nummernsystem hatte diese bis jetzt noch unentdeckten Wesen, die heute als "Spinoren" bekannt sind, die ganze Zeit beschrieben.

Dennoch haben Physiker niemals Quaternionen in ihren täglichen Berechnungen verwendet, weil ein alternatives Schema für den Umgang mit Spinoren basierend auf Matrizen gefunden wurde. Erst in den letzten Jahrzehnten haben Quaternionen eine Renaissance erlebt. Zusätzlich zu ihrer Verwendung in der Computergrafik, wo sie als effiziente Werkzeuge zur Berechnung von Rotationen dienen, leben Quaternionen in der Geometrie von höherdimensionalen Oberflächen weiter. Vor allem eine Oberfläche, die man als Hyperkähler-Mannigfaltigkeit bezeichnet, hat das faszinierende Merkmal, dass man zwischen Gruppen von Vektoren und Gruppen von Spinoren hin und her übersetzen kann – die beiden Seiten des Vektor-Algebra-Krieges vereinen. Da Vektoren Kraftteilchen beschreiben, während Spinoren Materieteilchen beschreiben, ist diese Eigenschaft für Physiker äußerst interessant, die sich fragen, ob in der Natur eine Symmetrie zwischen Materie und Kräften, Supersymmetrie genannt, existiert. (Wenn dies jedoch der Fall ist, müsste die Symmetrie in unserem Universum ernsthaft gebrochen werden.)

Für die Mathematiker verloren Quaternionen jedoch nie wirklich ihren Glanz. "Sobald Hamilton die Quaternionen erfunden hatte, beschlossen alle und sein Bruder, ihr eigenes Zahlensystem zu entwickeln", sagte Baez. "Die meisten waren völlig nutzlos, aber letztendlich … führten sie zu dem, was wir heute als moderne Algebra bezeichnen." Heute studieren abstrakte Algebraisten eine große Anzahl von Zahlensystemen in einer Vielzahl von Dimensionen und mit allen möglichen exotischen Eigenschaften.
Eine nicht so nutzlose Konstruktion entpuppte sich als das vierte und letzte Zahlensystem, das eine Multiplikation analog und eine dazugehörige Division zulässt, die kurz nach den Quaternionen von Hamiltons Freund John Graves entdeckt wurde. Einige Physiker vermuten, dass diese eigentümlichen, achtdimensionalen "Oktonionen" eine fundamentale Rolle in der fundamentalen Physik spielen könnten.

"Ich denke, dass es noch viel mehr zu entdecken gibt, was Geometrie auf der Basis der Quaternionen betrifft", sagte Nigel Hitchin, ein Geometer an der Universität Oxford, "aber wenn du eine neue Grenze willst, dann sind es die Oktonionen."


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